Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek dimana masing-masing karakteristik objek dapat didefinisikan secara jelas. Objek-objek yang mengisi sebuah himpunan disebut sebagai anggota. Penyajian himpunan dilambangkan dengan huruf besar seperti $A, B, C, P, Q, R, X$ dan lain-lain. Sementara itu, anggota suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kecil seperti $a, b, c, d, e, f$ dan lain sebagainya.

Misal kita punya $p\in A$ , kita dapat mengartikan $p$ sebagai anggota dari himpunan $A$ . Jika setiap anggota dari himpunan $A$ juga merupakan anggota dari himpunan lain, misal himpunan $B$ , maka $A$ disebut himpunan bagian (subset) dari $B$ yang dituliskan $A\subset B$ .

Dua buah himpunan dikatakan identik atau sama apabila semua anggota dari suatu himpunan juga merupakan semua anggota dari himpunan yang lain. Kita dapat menyatakan $A = B$ atau himpunan $A$ sama dengan himpunan $B$ jika dan hanya jika $(A\subset B)$ dan ( $B\subset A$ ).

Pernyataan ingkaran dalam notasi himpunan seperti $p\in A$ , $A\subset B$ dan $A=B$ secara berurutan dituliskan sebagai $p \notin A$ , $A\nsubseteq B$ dan $A\neq B$ .

Penyajian sebuah himpunan dapat dituliskan dengan dua macam yaitu menggunakan cara mendaftar dan cara kaidah. Penyajian himpunan menggunakan cara mendaftar ialah mencantumkan seluruh objek yang menjadi objek himpunan. Contoh

$A=\left\lbrace 1,2,3,4,5\right\rbrace$

Himpunan $A$ beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4 dan 5.

Adapun cara kaidah ialah penyajian himpunan dengan menyebutkan karakteristik tertentu yang menjadi anggota himpunan tersebut. Contoh

$A=\left \{ x:1\leq x \leq 5 \right \}$

himpunan $A$ beranggotakan objek $x$ , dimana $x$ adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari 6.

Himpunan universal merupakan suatu himpunan yang mencakup semua himpunan dan dilambangkan dengan notasi $U$ .
Himpunan kosong yang dilambangkan dengan $\left \{ \right \}$ atau $\varnothing$ adalah himpunan yang tidak mempunyai satu anggotapun. Himpunan kosong juga bisa kita katakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Jadi, secara urutan bisa kita simpulkan menjadi $\varnothing \subset A\subset U$

Gabungan (Union) dari himpunan $A$ dan himpunan $B$ , dituliskan dengan notasi $A\cup B$ adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek milik $A$ atau objek-objek milik $B$

$A\cup B=\{x:x\in A $ atau $ x\in B\}$

Irisan (Intersection) dari himpunan $A$ dan himpunan $B$ , dituliskan dengan notasi $A\cap B$ , adalah himpunan yang beranggotakan baik objek milik $A$ maupun objek milik $B$ secara bersama-sama.

$A\cap B=\{x:x\in A $ dan $ x\in B\}$

Jika $A$ irisan $B$ merupakan himpunan kosong $(A\cap B=\varnothing)$ , yakni $A$ dan $B$ tidak mempunyai satupun anggota yang dimiliki bersama, maka $A$ dan $B$ dikatakan disjoint (saling asing).

Selisih dari himpunan $A$ dan himpunan $B$ , dituliskan dengan notasi $A-B$ atau $A|B$ , adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek milik $A$ yang bukan objek milik $B$ .

$A-B\equiv A| B =\{x;x\in A$ tetapi $ x\notin B\}$

Pelengkap (complement) dari sebuah himpunan $A$ , dituliskan dengan notasi $\overline{A}$ atau $A^{c}$ , adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek yang tidak dimiliki oleh $A$ . Dengan kata lain, $\overline{A}$ adalah sama dengan selisih antara himpunan universal $U$ dan himpunan $A$ .

$\overline{A}=\{x:x\in U $ tetapi $x\notin A \} =U-A$

KAIDAH MATEMATIKA DALAM HIMPUNAN

1a. $A \cup A=A$
1b. $A\cap A = A$

2a. $\left( A \cup B\right) \cup C = A\cup \left( B\cup C\right)$
2b. $\left( A\cap B \right) \cap C = A \cap \left( B\cap C\right)$

3a. $A\cup B=B\cup A$
3b. $A\cap B=B\cap A$

4a. $A\cup \left( B \cap C \right) = \left( A \cup B \right) \cap \left( A\cup C \right)$
4b. $A\cap \left( B\cup C \right) = \left( A \cap B \right) \cup \left( A\cap C\right)$